Volumen

In dieser Lerneinheit beschäftigen sich die SuS mit dem Volumen geometrischer Körper. Dafür nutzen sie auch den Digitalen Baukasten, erfahren, wie wo die Berechnung des Volumens im Alltag helfen kann und führen dazu interessante Textaufgaben durch.

Lies dir zuerst den Infotext gründlich durch:

Bei jedem geometrischen Körper kann man das Volumen (V) berechnen. Es gibt an, wie viel Platz ein Körper einnimmt.

Beispiel: Stell dir vor, du hast einen hohlen Körper (z.B. einen Koffer, einen Eimer), den du befüllst. Das, was der Körper aufnehmen kann, ist das Volumen.

Schau dir die Bilder an und überlege dabei, wozu es sinnvoll ist, das Volumen zu berechnen.

Überlege dir weitere Situationen im Alltag, bei denen das Berechnen des Volumens wichtig sein kann. Stellt euch eure Ideen gegenseitig vor.

Tipp: Keine Idee? Stell dir vor, du willst Marmelade kochen und hast 10 Gläser mit einer bestimmten Füllmenge.

Um zu erklären, was es mit dem Volumen auf sich hat, stellen wir uns vor, dass ein geometrischer Körper vollständig mit kleinen Würfeln befüllt wird. Dafür nutzen wir sogenannte Einheitswürfel. Ein Einheitswürfel ist ein kleiner Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm.
Um einen kleinen Körper zu füllen, benötigt man nur wenige Einheitswürfel. Er hat ein geringes Volumen. Um einen sehr großen Körper zu füllen, benötigt man viel mehr Einheitswürfel. Er hat ein größeres Volumen.

Sieh dir die Bilder an und zähle die Einheitswürfel.

Du hast vorhin schon gelesen, dass man das Volumen durch die Füllung mit Einheitswürfeln
veranschaulichen kann. Ein Einheits würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm hat ein Volumen
von 1 cm³. Passen 27 Einheits würfel in einem geometrischen Körper, dann hat also er ein
Volumen von 27 cm³.

Damit man das Volumen von geometrischen Körpern bestimmen kann, ohne Einheitswürfel
zu zählen, gibt es eine Formel zur Berechnung des Volumens.

\(V = a \cdot b \cdot c\)

\(V = a^3 \)

Damit du besser verstehst, woher diese Formel kommt, leiten wir sie nun gemeinsam her.
Dafür nutzen wir als Beispiel einen Quader mit den Maßen: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm.
In den Abbildungen wird der Quader als Kantenmodell dargestellt.

Nun berechnen wir zuerst, wie viele Einheitswürfel auf die Grundfläche des Quaders passen. Dafür nutzen wir die Formel für den Flächeninhalt:

\( A = a \cdot b \)
\(A = 4\:cm \cdot 2\:cm\)
\(\underline{A = 8\:cm²} \)

Wir benötigen also 8 Einheitswürfel, um die Grundfläche des Quaders zu bedecken.

Um den großen Quader vollständig zu füllen, müssen wir mehrere Schichten mit jeweils 8 Einheitswürfeln übereinander stapeln. Da der Quader 3 cm hoch ist, benötigen wir 3 Schichten.

\(V = A \cdot c\)
\(V = 8\:cm² \cdot 3\:cm\)
\(\underline{V = 24\:cm³}\)

Wir benötigen 24 Einheitswürfel, um den Quader vollständig zu füllen. Er hat also ein Volumen von 24 cm³.

Aus den beiden Formeln, die wir verwendet haben:

\(A = a \cdot b \)
und
\(V = A \cdot c \)

ergibt sich also für die Berechnung des Volumens von Quadern folgende Formel:

\(\underline {V =a \cdot b \cdot c} \)

Im Digitalen Baukasten wurden Würfel und Quader gestapelt. Notiere zunächst die Maße der einzelnen Körper und berechne deren Volumen. Berechne dann das Volumen des gesamten Stapels.

Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 0,8 dm soll verglichen werden mit einem Quader mit den Maßen 5 cm x 10 cm x 11 cm.

Welcher der beiden Körper hat das größere Volumen? Notiere deinen Rechenweg.

Berechne das Volumen dieser Würfel und Quader. Notiere Rechenwege und Lösungen.

Wende dein Wissen zur Volumenberechnung an und bearbeite die folgenden Arbeitsschritte.

Bearbeite die folgenden Teilaufgaben im Digitalen Baukasten.

Nutze ausschließlich ganzzahlige Maße und notiere deinen Lösungsweg. Kontrolliere deine Lösungen selbstständig, indem du das Volumen berechnest.

Zusatzaufgabe: Im Digitalen Baukasten wurden zwei Würfel konstruiert. Der größere der beiden Würfel hat eine doppelt so lange Kantenlänge wie der kleine Würfel. Nun wurde mithilfe der Ausschneiden-Funktion der kleinere Würfel vollständig aus dem größeren Würfel ausgeschnitten (s. Abbildung).

Um welchen Anteil hat sich das Volumen des großen Würfels dadurch verändert? Begründe deine Antwort!

Tipp: Zur Veranschaulichung kannst du die dir die beiden Würfel im Digitalen Baukasten nachkonstruieren oder das Volumen beispielhaft berechnen.

In dieser Lerneinheit hast du bereits die Formel zur Berechnung des Volumens von Quadern kennengelernt. Dabei multipliziert man den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe des Quaders (s. Seite 5). Das lässt sich auch auf Zylinder anwenden.

Lies dir die Zusammenfassung oben gut durch und überlege:

Mit welcher Formel kannst du das Volumen eines Zylinders berechnen? Es gibt zwei richtige Antworten.

a) \(V = \pi \cdot d\)

b) \(V = \pi \cdot (0,5c \cdot d)^2 \cdot h \)

c) \(V = r \cdot h^2 \)

d) \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \)

Tipp: Weißt du noch, wie man den Flächeninhalt eines Kreises berechnet?

\(A = \pi \cdot r^2 \)

Löse die folgenden Teilaufgaben:

Für die Berechnung des Volumens einer Kugel wird folgende Formel genutzt:

\(V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \)

Sieh dir die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel an. Warum kann man hier nicht den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe multiplizieren wie bei Quader und Zylinder?

Lies dir noch einmal den Text auf Seite 5 durch und überlege, was die Kugel von Würfel und Quader unterscheidet.

Löse die folgenden Teilaufgaben: